Section : Filtres ARMA
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Définition :

On appelle filtre MA($q$) tout filtre ${\theta}(B)$ de la forme

$${\theta}(B)=I+{\theta}_1B+\cdots+{\theta}_qB^q$$

avec ${\theta}_q\not=0$. Sa transformée en $z$ est un polynôme :

$${\theta}(z)=1+{\theta}_1z+\cdots+{\theta}_qz^q$$

Soit ${\phi}(B)$ un filtre MA($q$), et soient ${\alpha}_1$,..., ${\alpha}_q$ les racines (éventuellement complexes) de sa transformée en $z$ :

$${\phi}(z)=\prod_{j=1}^q\bigl(1-{z\over {\alpha}_j}\bigr)$$

Cela signifie que ${\phi}(B)$ se décompose en filtres MA($1$) de la façon suivante

$${\phi}(B)=\bigl(I-{1\over {\alpha}_1}B\bigr)\circ\cdots\circ\bigl(I-{1\over {\alpha}_q}B\bigr)$$

- on a ici étendu la définition des filtres puisqu'on les considère à coefficients dans ${\mathbb{C}}$. Le filtre ${\phi}(B)$ est inversible si et seulement si tous les filtres de cette décomposition le sont.

Théorème 2.III.4   Soit ${\alpha}\in{\mathbb{C}}^*$, et notons ${\Psi}_{({\alpha})}(B)$ le filtre MA($1$) défini par ${\Psi}_{({\alpha})}(B)=I-{1\over {\alpha}}B$

• ${\Psi}_{({\alpha})}(B)$ est inversible si et seulement si $\vert {\alpha}\vert\not=1$.
• Le filtre inverse est causal si et seulement si $\vert{\alpha}\vert>1$ et purement non réalisable si et seulement si $\vert{\alpha}\vert<1$.