Section : Filtres et stationnarité
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Démonstration

D'après la démonstration du théorème , on a

$${\gamma}_X(h) = {\gamma}_{{\varphi}(B)({\varepsilon})}(h)$$

$$= \sum_{u,v\in{\mathbb{Z}}}{\varphi}_u{\varphi}_v{\gamma}_{\varepsilon}(\vert h+v-u\vert )$$

$$= {\sigma}^2\sum_{u,v\in{\mathbb{Z}}}{\varphi}_u{\varphi}_v\mathbf{1}_{h+v-u=0}$$

$$= {\sigma}^2\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}{\varphi}_u{\varphi}_{u+h}$$

Comme on a $\left\vert {\varphi}_u{\varphi}_{u+h}\right\vert\leq\left\vert {\varphi}_u\right\vert \Vert {\varphi}\Vert_\infty$ et $\sum_{u\in{\mathbb{Z}}} \left\vert {\varphi}_u\right\vert \Vert {\varphi}\Vert_\infty=\Vert{\varphi}\Vert_1 \Vert {\varphi}\Vert_\infty<+\infty$ , on peut appliquer le théorème de convergence dominée, et en déduire

$$\lim_{h\rightarrow +\infty}{\gamma}_X(h)={\sigma}^2\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}\lim_{h\rightarrow +\infty}{\varphi}_u{\varphi}_{u+h}=0$$

car $\lim_{h\rightarrow +\infty}{\varphi}_{u+h}=0$. Il s'ensuit que ${\rho}_X(h)={\gamma}_X(h)/{\gamma}_X(0)$ converge aussi vers 0 quand $h$ tend vers l'infini.