Section : Un deuxième temps d'arrêt
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Proposition:

$T_1$ est optimal ; il n'existe pas d'autre temps d'arrêt optimal $\geq T_1$ .

Démonstration :Nous allons utiliser la caractérisation 2.5.2.2 des temps d'arrêt optimaux .

1. $(U^{T_1}_n)$ est une martingale : par définition de $T_1$ , on a les implications
   $$n\leq T_1\Longrightarrow A_n=0\Longrightarrow U_n=M_n\;.$$
   Il en résulte que $U_{n\wedge {T_1}}=M_{n\wedge T_1}\;\;\;\forall n$ , ce qui s'écrit encore $(U^{T_1}_n)=(M^{T_1}_n)$ , d'où le résultat .
2. $U_{T_1}=Z_{T_1}$ : On a $U_{T_1}=\sum _0^NU_n1_{\{T_1=n\}}=\sum_0^{N-1}U_n1_{\{T_1=n\}}+Z_N1_{\{T_1=N\}}$ . Plaçons nous , pour $n\leq N-1$ , sur l'événement $\{T_1=n\}$ , sur lequel $A_n=0$ (et donc $U_n=M_n$) , $A_{n+1} >0$ et où l'on peut donc écrire
   $$U_n=Z_n\vee \textbf{E}[U_{n+1}\vert {\cal F}_n]=Z_n\vee (M_n-A_{n+1})=Z_n\vee (U_n-A_{n+1}) \;.$$
   Mais comme $U_n-A_{n+1}<U_n$ , on a nécessairement $U_n =Z_n$ ; il en résulte que
   $$U_{T_1}=\sum_0^NZ_n1_{\{T_1=n\}}=Z_{T_1} .$$
3. Il nous reste à montrer le caractère maximal de $T_1$ : Si $S$ un temps d'arrêt tel que
   $S\geq T_1\;et\;\textbf{P}[S>T_1]>0$ , on aura $\textbf{E}[U_S]=\textbf{E}[M_S-A_S]<\textbf{E}[M_S]=\textbf{E}[M_0]=\textbf{E}[U_0]$ , si bien que $(U^S_n)$ ne peut pas être une martingale ; $S$ n'est donc pas optimal , C.Q.F.D.