Section : Variables aléatoires -mesurables
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Variables aléatoires $\cal F (Z)$-mesurables

Nous allons montrer que ce sont tout simplement les v.a. que nous avons appelées jusqu'ici de manière peu élégante "fonctions déterministes de $Z$" .

Proposition : Soit $Y$ une v.a.r. ; les deux propriétés suivantes sont équivalentes

1. $Y$ est ${\cal F}(Z)$-mesurable .
2. Il existe une fonrtion numérique $\phi$ sur $E$ telle que $Y=\phi (Z)$ .

Démonstration : Si 2. est vérifiée, $Y$ est constante sur les atomes de ${\cal F}(Z)$, d'où 1. ; réciproquement, posons $E=\{z_1,z_2,...,z_p\}$ ; si $Y$ est ${\cal F}(Z)$- mesurable, il existe, par définition, $p$ constantes $c_1,c_2,...,c_p$ telles que $Y=\sum_1^p c_i1_{\{Z=z_i\}}$ ; il en résulte que $Y$ vérifie 2., avec $\phi =\sum_1^pc_i1_{\{z_i\}}$, (Cf.())