Section : Algèbres et partitions
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Partition engendrée par une variable aléatoire.

Soit $Z$ une v.a. á valeurs dans $E$ ; la famille finie d'événements $\{[Z=k]\;\;,\;\;k\in Z(\Omega )\}$ constitue une partition finie de $\Omega$ appelée partition engendrée par $Z$ ; elle sera notée ${\cal P}_{Z}$. Revenons alors à la définition de l'epérance conditionnelle ; on a, quand on a posé $A_{k}=[Z=k]\;\;,\;\;c_{k}=\frac{\textbf {E}[X;A_{k}]}{\textbf {P}A_{k}}$

$$\textbf {E}[X\vert Z]=\sum_{k\in Z(\Omega )} c_{k}1_{A_{k}}$$

On voit sur cette formule que $\textbf {E}[X\vert Z]$ ne dépend de $Z$ que par l'intermédiaire de la partition qu'elle engendre . Ainsi,

$$\textbf {E}[X\vert Z]=\textbf {E}[X\vert Z+1]=\textbf {E}[X\vert Z^{3}]$$

puisque les partitions engendrées par $Z,Z+1,Z^{3}$ sont identiques ; en revanche, si $Z$ est à valeurs dans $\{-1\;,\;+1\}$, $\textbf {E}[X\vert Z]$ et $\textbf {E}[X\vert Z^{2}]$ sont différentes. La véritable notion intéressante est donc celle de conditionnement par une partition ; on est conduit aux définitions suivantes :