Section : Conditionnement par une variable
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Exercice : Conditionnement et projection orthogonale

Supposons $\textbf{P}(\omega)>0\;\;\;\forall \omega$ et posons $\vert\Omega \vert=n$ ; On notera $\cal V$ l'espace vectoriel des v.a.r sur $\Omega$ et $\cal V_Z$ le sous ensemble de $\cal V$ formé des fonctions déterministes de $Z$ ; on posera enfin $\vert Z(\Omega)\vert=p$ .

1. On munit $\cal V$ du produit scalaire défini par $<X , Y>=\textbf{E}[XY]$ ; donner la dimension de l'espace euclidien ainsi défini ainsi que celle du sous espace $\cal V_Z$ .
2. Soit $X\in \cal V$ ; montrer que $\textbf {E}[X\vert Z]$ est la projection eucidienne de $X$ sur $\cal V_{Z}$ .
3. On note $\cal R_{Z}$ le sous espace de $\cal V$ formé des v.a.r. qui sont des fonctions affines de $Z$ . Quelle est sa dimension ? Montrer qur la projection eucidienne $R[X\vert Z]$ de $X$ sur $\cal R_Z$ est donnée par l'égalité
   $$Y=\textbf{E}[X]+r (Z-\textbf{E}[Z])$$
   quand on a posé $r =\frac{cov (X,Z)}{var (Z)}$
4. Montrer sans calculs l'inégalité $\textbf{E}[(X-\textbf{E}[X\vert Z])^2]\leq \textbf{E}[(X-R[X\vert Z])^2]$ .
5. Montrer que $\textbf{E}[X\vert Z]=R[X\vert Z]$ si $\vert Z(\Omega)\vert=2$