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Proposition

$\textbf {E}[X\vert Z]$ est l'unique v.a.r $Y$ vérifiant les 2 propriétés suivantes :

1. $Y$ est une fonction déterministe de $Z$
2. $\textbf {E}[Y\psi (Z)]=\textbf {E}[X\psi (Z)]\;\;\;\;\forall \psi\; : E\to {\mathbb{R}}$

Démonstration : Il est clair d'après sa définition que $Y=\textbf {E}[X\vert Z]$ vérifie la propriété 1. D'autre part, les égalités

$$\textbf {E}[\phi(Z)\psi(Z)]=\sum_{i}\phi(i)\psi(i)\textbf {P}[Z=i... ...1_{[Z=i]}]\psi(i) =\textbf {E}[X\sum_{i}1_{[Z=i]}\psi(i)]=\textbf {E}[X\psi(Z)]$$

montrent que $Y$ vérifie 2. Réciproquement, soit $Y=h(Z)$ une v.a.r. vérifiant 1. et 2. ; cette dernière propriété écrite pour $\psi =1_{\{j\}}$ conduit à l'égalité (Cf. ()) $h(j)\textbf {P}[Z=j]=\textbf {E}[X1_{[Z=j]}]$, si bien que $h=\phi$, d'où le résultat.

Énonçons maintenant quelques propriétés simples de cette espérance conditionnelle.