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Une notation condensée

Au paragraphe précédent, nous avons souvent été amenés à considérer des expressions de la forme $\textbf{E}[X \vert Z=i]$ où $X$ est une v.a. réelle et $Z$ une v.a. quelconque à valeurs dans un ensemble fini $F$ . En général le résultat dépend de $i$, ce qui nous amène à définir une fonction $\phi :F\to {\mathbb{R}}$ par

$$\textbf{E}[X \vert Z=i] =\phi (i)$$ (2.11)

(On posera, par convention, $\phi (i)=0$ si $\textbf{P}[Z=i]=0$ ).
Il est alors naturel de poser, de manière plus ramassée,

$$\textbf{E}[X\vert Z]=\phi (Z)$$ (2.12)

Puisque le second membre de () est une v.a. qui vaut $\phi (i)$ , (c'està dire $\textbf{E}[X \vert Z=i]$) "quand $Z=i$" . Revenons un instant aux exemples du paragraphe 2.1 pour s'habituer à cette notation . Les égalités () , () , () , () deviennent ainsi respectivement

$$\textbf{P}[S_p=k \vert S_n]=\frac{ \left( \begin{array}{c} p\... ...ay}\right)}{\left( \begin{array}{c} n\\ S_n \end{array}\right)}$$

$$\textbf{P}[X_1=1\vert S_n]={S_n\over n}\;\;\;;\;\;\;\textbf{P}[X_1=0\vert S_n]=1-{S_n\over n}$$

$$\textbf{E}[S_p\vert S_n]=p{S_n\over n}\;\;\;;\;\;\;\textbf{E}[X_1\vert S_n]={S_n\over n}$$

$$\textbf{E}[S\vert X_1+X_2]=X_1+X_2+21$$

On aura noté que la v.a. conditionnante $Z$ peut prendre ses valeurs dans un espace produit ; c'est le cas dans la formule () où l'on posera $Z=(X_1,X_2)$, ce qui conduit à l'égalité

$$\textbf{E}[S\vert X_1,X_2]=\textbf{E}[S\vert Z]=X_1+X_2+\textbf{E}[X_3]$$

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