Section : Indépendance
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Espérance d'un produit de variables aléatoires indépendantes:

Soient $X$ et $Y$ sont 2 variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $E$ , $f$ et $g$ deux fonctions numériques sur $E$ alors

$$\textbf{E}[f(X)g(Y)]=\textbf{E}[f(X)]\textbf{E}[g(Y)].$$

En particulier , si $X$ et $Y$ sont réelles , $\textbf{E}[XY]=\textbf{E}[X]\textbf{E}[Y]$ .
Après avoir remarqué qu'il suffit de montrer la deuxième assertion , posons $Z=(X,Y)$ ; on a

$$\textbf{E}[XY]=\sum_{x,y}xy\Pi_Z(x,y)=\sum_{x,y}xy\Pi_X(x)\Pi_Y(y)=(\sum_x x\Pi_x(x))(\sum_y y\Pi_Y)(y)= \textbf{E}[X]\textbf{E}[Y]$$

On notera que si l'une des 2 v.a. est centrée , $\textbf{E}[XY]=0$