Section : Indépendance
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Exemple: une autre approche de la loi binomiale

Soit( $A_1 , A_2 , \ldots ,A_p$) une suite de $p$ événements indépendants de même probabilité $\alpha$ ; on pose $Z=\sum_{i=1}^{i=p}1_{A_i}$ . Nous allons voir que $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $\alpha , p$ . En vertu de l'indépendance des $A_i$ , on a en effet , si $I$ est une partie de $\{1,2,...,p \}$ de cardinal $k$ ,

$$\textbf{P}\{\bigcap_{i\in I}A_i \bigcap_{i\in I^c}A_i^c\}=\al... ...in{array}{c} p\\ k \end{array}\right) \alpha^k (1-\alpha)^{p-k}$$

Le fait que $Z$ admette même loi que la v.a. $Z_1$ du sondage (exemple b)), n'est pas dû au hasard. Dans ce modèle, en effet, P est la loi uniforme sur $\Omega =E^p$ et les variables aléatoires $X_i$ sont les applications coordonnées ; d'après la proposition précédente , ces v.a. sont donc indépendantes et suivent une loi uniforme sur $E$. Les événements $[X_i\in E_1]$ sont donc indépendants de probabilité $n_1\over n$ , ce qui permet d'appliquer la formule ci-dessus à la v.a. $Z_1=\sum_i1_{[X_i\in E_1]}$ .