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Couverture du call

Rappelons que l'émetteur de notre call n'a pu le vendre à un prix raisonnable que parceque nous lui avons dit qu'il existait , (puisque le marché est complet), une stratégie de couverture de cette option . Mais si le mathématicien se satisfait aisément d'un théorème d'existence , la banque qui l'emploie exigera qu'il lui fournisse explicitement le moyen de se couvrir ; c'est ce que nous allons faire maintenant . Soit $({\Phi}_n)=({\phi}^0_n,{\phi}_n)$ une statégie prévisible simulant l'option d'achat ; on a

$$C_n=c(n,S_n)=V_n({\Phi})=\phi^0_n{(1+r)}^n +\phi_n S_n ,$$

ce que l'on écrira $c(n,T_nS_{n-1})=\phi^0_n{(1+r)}^n+\phi_nT_nS_{n-1}$ ; rappelons nous que $T_n$ ne prend que les 2 valeurs $1+a$ et $1+b$ ; on a donc

$$\lbrace \begin{array}{l} c(n,(1+a)S_{n-1})1_{[T_n=1+a]}=[\phi^0_n... ...1_{[T_n=1+b]}=[\phi^0_n{(1+r)}^n+(1+b)\phi_n S_{n-1}]1_{[T_n=1+b]} \end{array}$$

Plaçons nous sous $\textbf{P*}$ et prenons les espérances conditionnelles des 2 égalités précédentes par rapport à l'algèbre ${\cal F}_{n-1}$ ; compte tenu de ce que

• $\phi _n$ est ${\cal F}_{n-1}$-mesurable
• $T_n$ est indépendante de ${\cal F}_{n-1}$

on obtient

$$\lbrace \begin{array}{c} c(n,(1+a)S_{n-1})p=[\phi^0_n{(1+r)}^... ...})(1-p)=[\phi^0_n{(1+r)}^n+(1+b)\phi_nS_{n-1}](1-p) \end{array}$$

Il reste à résoudre ce système linéaire à 2 inconnues pour obtenir

$$\phi^0_n = \frac{(1+b)c(n,(1+a)S_{n-1})-(1+a)c(n,(1+b)S_{n-1})}{(b-a){(1+r)}^n}$$ (5.2)

$$\phi_n = \frac{c(n , (1+b)S_{n-1})-c(n,(1+a)S_{n-1})}{(b-a)S_{n-1}}$$ (5.3)

On notera que l'on obtient bien 2 suites prévisibles ; il y a plus : à l'instant $n$ , il suffit de connaitre les cours de l'instant immédiatement précédent pour réorganiser son portefeuille . Nous laissons en exercice la couverture d'une option de vente .
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