Section : Calculs explicites
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Théorème :

Le prix d'un call européen est donné par la formule

$$C_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\sum_{j=0}^{j=N-n} \left( \begin{array... ...\\ j\\ \end{array} \right)p^j{(1-p)}^{N-n-j}{[S_n{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}-K]}^+$$ (5.1)

Démonstration :

$${(1+r)}^{N-n}C_n=\textbf{E*}[{(S_N-K)}^+\vert {\cal F}_n]=\textbf{E*}[{(S_nT_{n+1}....T_N-K)}^+\vert {\cal F}_n]$$

Posons alors

$$c(n,s)=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\textbf{E*}[(sT_{n+1}T_{n+2}....T_N -K)^+]$$

de sorte que ,(cf (13)) , $C_n=c(n,S_n)$ . Le lemme précédent appliqué à la fonction symétrique

$$\psi_s (t_{n+1},t_{n+2},...,t_N)={(st_{n+1}t_{n+2}....t_N-K)}^+$$

conduit à l'égalité

$$c(n,s)=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\sum_{j=0}^{j=N-n} \left( \begi... ...}\right ) p^j{(1-p)}^{N-n-j}{[s{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}-K]}^+ .$$

On en déduit immédiatement la formule $(4.1)$ . Il est inutile de recommencer un calcul analogue pour obtenir le prix du put : il est plus simple de se servir de la formule de parité .