Section : Calculs explicites
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Lemme

Soit $T_1 , T_2 , ... , T_l$ une suite de $l$ variables aléatoires indépendantes équidistribuées de loi commune $\mu$ , et soit $\psi$ une fonction numérique symétrique sur ${\mathbb{R}}^l$ ;on a , si l'on note $s^{(j)}$ l'élément $(s,s,...,s)$ de ${\mathbb{R}}^j$

$$\textbf{E}[\psi (T_1 , T_2 , .... , T_l)]= \sum_{j=0}^{j=l} \left... ...} \right) p^j{(1-p)}^{l-j}\psi({(1+a)}^{(j)} , {(1+b)}^{(l-j)})\hspace{1cm}(39)$$

Démonstration : Posons $J(\omega)=\sharp \{i \;\vert T_i(\omega)=1+a\}$ ; la démonstration est très simple si l'on veut bien réfléchir aux 2 points suivants :

• la loi de $J$ est binomiale ; on peut en effet écrire $J=\sum_{i=1}^lU_i$ quand on a posé $U_i=1_{\{T_i=1+a\}}$ . Il reste alors à remarquer que $(U_i\;\;;\;0\leq i\leq l)$ constitue une suite indépendante de v.a. de Bernoulli telles que $\textbf{P}[U_i=1]=p\;\;,\;\;\textbf{P}[U_i=0]=1-p$
• compte tenu de la symétrie supposée sur $\psi$ , la v.a $\psi(T_1,T_2,....T_l)$ est une fonction de $J$ ; plus précisément
  $$\psi(T_1,T_2,...,T_l)=\psi({(1+a)}^{(J)} ,{(1+b)}^{(l-J)} )$$

On a donc

$$\textbf{E}[\psi(T_1,T_2,....,T_l)] = \sum_{j=0}^{j=l}\psi({(1+a)}^{(j)} , {(1+b)}^{(l-j)}) \textbf{P}[J=j]$$

$$= \sum_{j=0}^{j=l} \left( \begin{array}{c} l\ j\ \end{array}\right) p^j {(1-p)}^{l-j} \psi({(1+a)}^{(j)} , {(1+b)}^{(l-j)})$$