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Proposition :

On a les égalités

$$C_n-P_n=S_n^l-\frac{K}{{(1+r)}^{N-n}}\hspace{1cm} \forall n\leq N$$ (4.15)

Démonstration : Notre marché comporte maintenant les $d+ 3$ actifs $\{0,1,\ldots ,d,c,p\}$ admettant pour cours à l'instant $n$ $\bar{S_{n}} =Â¥S_{n},C_{n}, P_{n}$ et est supposé viable. Nous allons montrer que, si l'égalité () n'est pas satisfaite, il existe une stratégie d'arbitrage ; pour ne pas trop alourdir ces notes, nous nous bornerons au cas $n=0$ en laissant au lecteur, que je sais friand d'exercices, le soin d'en déduire une démonstration générale.

1. Supposons $C_{0}Â¥-P_{0}Â¥>S^l_{0}Â¥-\frac{K}{{(1+r)}^N}$ .

   Soit ( $(\psi_{n}^k)\;;\;0\leq n \leq N\;;\;k\in \{1,2,\ldots d ,c,p\}$ ) la suite vectorielle prévisible à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{d+2}$ définie par

   $$\psi_{n}^l =1\;;\;\psi_{n}^c =-1\;;\;\psi_{n}^p =1\;\;\forall n\geq 0\;\;;\;\;\psi_{n}^k =0\;\;\forall n\geq 0\;\;\forall k\notin \{l,c,p\}Â¥$$
   D'après la proposition , il existe une statégie autofinancée $\phi$ coïncidant avec $\psi$ sur les actifs risqués et telle que $V_{0}(\phi)=0$ .

   On a donc

   $$V_{n}(\phi)=S_{n}^l-C_{n}+P_{n}+\phi_{n}^{0}S_{n}^{0}\;\;\;\;\;\forall n\geq0$$ (4.16)

   
   et en particulier,

   $$S_{0}^l¥-C_{0}+P_{0}+\phi_{0}^{0}=0$$ (4.17)

   
   Puisque $\phi$ est autofinancée, on a d'autre part

   $$V_n(\phi)=<\phi_{n+1},\bar{S_{n}}>=S_{n}^l-C_{n}+P_{n}+\phi_{n+1}^{0}S_{n}^{0}$$ (4.18)

   
   La comparaison de (4.16) et (4.18) montre que $\phi_{n}^{0}¥¥$ ne dépend pas de $n$ ; il résulte alors de (4.17 ) que
   

   $$\phi_{n}^{0} = \phi_{0}^{0}\;=\; C_{0}-P_{0}-S_{0}^l$$ (4.19)

   $$V_{n}(\phi) = (C_{0}-P_{0}-S_{0}^l)(1+r)^n +S_{n}^l-C_{n}+P_{n}$$ (4.20)

   $$V_{N}(\phi) = (C_{0}-P_{0}-S_{0}^l)(1+r)^{N}+K$$ (4.21)

   
   La stratégie $\phi$ constitue donc un arbitrage ce qui interdit au marché d'être viable.

   Dans une salle de marché , la manière pratique de mettre en oeuvre cette stratégie serait la suivante : à l'instant 0 vous achetez une action et un put et vous vendez un call ; cela vous procure une quantité (algébrique) d'argent liquide égale à $C_{0}Â¥-P_{0}Â¥-S_{0}^lÂ¥$ que vous placez au taux $r$ si elle est $>0$, et que vous empruntez au même taux si elle est $<0$ ; vous ne touchez à rien jusqu'à la date $N$ ; votre quantité de numéraire est alors $(C_{0}Â¥-P_{0}Â¥-S_{0}^lÂ¥)({1+r})^N$ ; deux cas peuvent maintenant se présenter :

   1. $S_{N}^lÂ¥>K$ ; l'acheteur du call l'exerce, vous lui livrez l'action que vous possédez au prix $K$, et votre put ne vaut rien. La valeur de votre portefeuille est donc bien celle que nous avons calculée.
   2. $S_{N}^lÂ¥<K$ ; l'acheteur du call a perdu son argent, vous vendez votre action au prix $K$, ce que vous autorise la possession d'un put ; la valeur de votre portefeuille est encore la même .
   Vous avez donc réussi à obtenir un "free lunch".
2. Si au contraire $C_{0}Â¥-P_{0}<S_{0}^lÂ¥-\frac{K}{{(1+r)}^N}$ , la stratégie consistant à acheter le call, à vendre le put et emprunter l'action conduit au même résultat (un arbitrage) ; le lecteur pourra avec profit écrire complètement le formalisme mathématique correspondant.
3. Vous disposez maintenant des éléments suffisants pour imaginer une stratégie prévisible permettant d'établir l'égalité $(4.15)$, qui, vous l'avez noté, est une égalité entre variables aléatoires.

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