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Exercice :

Les 3 assertions suivantes sont équivalentes

1. Il existe une stratégie autofinancée $\phi$ telle que

   $$V_{0}(\phi)\leq 0\;\;\;\;;\;\;\;\;V_{N}(\phi)\geq 0\;\;\;\;;\;\;\;\;\textbf {P}[V_{N}(\phi)>0]>0.$$ (4.11)

   
   
2. Il exite un entier $p\in \{1,2,\ldots ,N\}$ et un vecteur aléatoire ${\cal F}_{p-1}-\mathrm{mesurable}\;\;\eta =(\eta^{1},\eta^{2},\ldots , \eta^{d})$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ tels que

   $$[\eta , \Delta \tilde{S_{p}}\geq 0]\;\;\;\;;\;\;\;\textbf {P}\big[ [\eta , \Delta \tilde{S_{p}}>0\big] >0.$$ (4.12)

   
   
3. Il existe une stratégie d'arbitrage. (Autrement dit le marché n'est pas viable.)
4. Il existe une stratégie d'arbitrage $\phi$ vérifiant $V_{n}(\phi)\geq 0 \;\;\;\forall n \leq N .$^4.1

   Démonstration : Notons d'abord que $4.\Longrightarrow 3.\Longrightarrow 1.$ ; on procède ensuite comme suit :

   1. $1.\Longrightarrow 2.$ : Soit $\phi =(\phi^{0},\psi)$ un portefeuille autofinancé vérifiant (4.11) ; posons
      $$u(n)=\textbf {P}[V_{n}(\phi)\geq 0]\;\;\;;\;\;v(n)=\textbf {P}[V_{n}(\phi)>0]\;\;;\;\;p=\inf\{n\;\vert\;u(n)=1 \;\mathrm{et}\;v(n)>0\}$$
      Il résulte des hypothèses faites sur $\phi$ que $1\leq p \leq N$ ; d'autre part, $\forall n <p$ (et en particulier pour $n=p-1$), on a soit $v(n)=0$, soit $u(n)<1$.
      1. Si $v(p-1)=0$, nous poserons $\eta =\psi_{p}$ ; on aura alors, puisque $\phi$ est autofinancée,
         $$[\eta,\Delta \tilde{S}_{p}]=<\phi_{p},\Delta \tilde{S}_{p}>=\tilde{V}_{p}(\phi)-\tilde{V}_{p-1}(\phi)\geq \tilde{V}_{p}(\phi)Â¥$$
         ce qui entraîne (4.12)
      2. Supposons maintenant $u(p-1)<1$ ; nous poserons alors $\eta =\psi_{p}1_{\{V_{p-1}(\phi)<0\}}Â¥$. On peut alors écrire
         $$[\eta , \Delta \tilde{S}_{p}Â¥]=1_{\{V_{p-1}<0\}}<\phi_{p} , \Del... ...\tilde{V}_{p-1}(\phi)]\geq 1_{\{V_{p-1}<0\}}\big(-\tilde{V}_{p-1}(\phi)\big)Â¥$$
         ce qui entraîne également (4.12)
   2. $2.\Longrightarrow 4.$ : Soit $\eta$ un vecteur aléatoire vérifiant (4.12) ; définissons la suite prévisible de vecteurs aléatoires $(\psi_{n})$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ par
      $$\psi_{p}=\eta\;\;\;\;\mathrm{et}\;\;\psi_{n}=0\;\; \mathrm{pour}\;\;n\neq p$$
      et appelons $(\phi_{n})$ le portefeuille autofinancé de valeur initiale nulle associé à $(\psi_{n})$ par la proposition 4.2.2 . On a
      $$\tilde{V}_{m}(\phi)=\sum_{ 1\leq n \leq m}<\phi_{n},\Delta \tilde{S}_{n}>=\sum_{ 1\leq n\leq m}[\psi_{n},\Delta \tilde{S}_{n}],$$
      si bien que $\tilde{V}_{m}(\phi)$ est nul pour $m<p$ et vaut $[\eta , \Delta \tilde{S}_{p}]$ pour $m\geq p$. Le résultat en découle immédiatement.

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