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Démonstration

Soit $U=\sum_{t\in{\cal T}}u_tX_t$ une combinaison linéaire de $(X_t)_{t\in{\cal T}}$, telle que ${\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[U]={\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[X_s]=f(s,{\beta})$ quel que soit $({\beta},{\sigma}^2)$. Alors

$${\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[(X_s-U)^2] = \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits _{{\beta},{\sigma}^2}(X_s... ...ft({\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}\left[X_s\right]-U\right)^2\right]\hskip1cm \mbox{ car $X_s$\ et $U$\ sont d\'ecorr\'el\'es}$$

$$= {\sigma}^2+{\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[(f(s,{\beta})-U)^2]$$

La variable aléatoire $U$ est donc prédicteur linéaire de $X_s$ si et seulement s'il s'agit de l'estimateur de $f(s,{\beta})$ de variance minimale parmi les estimateurs sans biais linéaires en $(X_t)_{t\in{\cal T}}$. D'après le théorème de Gauss-Markov, cet estimateur existe, est unique, et vaut $f(s,\hat{\beta})$.

Soit $L_s$ le vecteur ligne tel que $f(s,{\beta})=L_s.{\beta}$, et ${\sigma}^2{\Gamma}_{\beta}$ la matrice de covariance de $\hat{\beta}$. Si le modèle est régulier, et peut s'écrire sous la forme $X=A.{\beta}+{\varepsilon}$, on rappelle que ${\Gamma}_{\beta}=(^tA.A)^{-1}$. Alors l'erreur quadratique moyenne vaut

$${\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[(X_s-\hat X_s)^2]=\mathop{\hbox... ...imits _{{\beta},{\sigma}^2}(\hat X_s)={\sigma}^2(1+L_s.{\Gamma}_{\beta}.^tL_s)$$

On pose $e^2_s=L_s.{\Gamma}_{\beta}.^tL_s$.