Section : Détection des valeurs aberrantes
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Exercice 5.

Il s'agit de montrer l'égalité $st=\frac{\hat{\varepsilon}_{t_0}}{\sqrt{\tilde{\sigma}^2v^2_{t_0}}}$ . On écrit le modèle avec valeur aberrante sous forme matricielle régulière :

$$X=A{\beta}+{\gamma}C_{t_0}+{\varepsilon}$$

avec $C_{t_0}$ le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf celle d'indice $t_0$ qui vaut $1$. On note $V=Vect(A)$ et $W=Vect(A,C_{t_0})$, et on pose $C_{t_0}^\bot=proj^\bot_{V^\bot}(C_{t_0})$. On rappelle que

$$\hat X=proj^\bot_V(X),\ \tilde X=proj^\bot_W(X),\ \hat{\varepsilon}=proj^\bot_{V^\bot}(X),\ \tilde{\varepsilon}=proj^\bot_{W^\bot}(X)$$

1. Montrer que $\hat{\varepsilon}_{t_0}=\langle \hat{\varepsilon},C_{t_0}\rangle=\langle\hat{\varepsilon},C_{t_0}^\bot\rangle$ , puis que $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\left(\hat{\varepsilon}_{t_0}\right)\right)={\sigma}^2\left\Vert C_{t_0}^\bot\right\Vert^2$ .
2. Montrer que $\tilde X-\hat X=\hat{\varepsilon}-\tilde{\varepsilon}=proj^\bot_{W}\left(\hat{\varepsilon}\right)$ , puis que $proj^\bot_{W}\left(\hat{\varepsilon}\right)=\frac{\langle\hat{\varepsilon},C_{t_0}^\bot\rangle}{\left\Vert C^\bot_{t_0}\right\Vert^2}C_{t_0}^\bot$ .
3. D'après l'exercice , on rappelle que $\tilde X-\hat X=\tilde{\gamma}C_{t_0}^\bot$ et $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\tilde{\gamma}\right)=\frac{{\sigma}^2}{\Vert C_{t_0}^\bot\Vert^2}$ . En déduire $\tilde {\gamma}=\frac{\hat{\varepsilon}_{t_0}}{\left\Vert C^\bot_{t_0}\right\Vert^2}$ .