Section : Espaces de Hilbert
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Exemples :

1. Soit $A$ une matrice symétrique définie positive ; alors ${\mathbb{R}}^d$, muni du produit scalaire
   $$\forall x,y\in{\mathbb{R}}^d,\ \ \langle x,y\rangle={}^txAy,$$
   est un espace de Hilbert. Si $A=I_d$, on retrouve le produit scalaire canonique.
2. L'espace $l^2({\mathbb{Z}})$ des suites ${\psi}=({\psi}_n,n\in{\mathbb{Z}})$ vérifiant $\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}{\psi}_n^2<+\infty$, muni du produit scalaire
   $$\forall {\varphi},{\psi}\in l^2({\mathbb{Z}}),\ \ \langle {\varphi},{\psi}\rangle=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}{\varphi}_n{\psi}_n$$
   est un espace de Hilbert.
3. L'espace $L^2({\mathbb{R}},{\cal B}({\mathbb{R}}),d{\lambda}_{\mathbb{R}})$ des fonctions réelles de carré intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, muni du produit scalaire
   $$\forall f,g\in L^2({\mathbb{R}},{\cal B}({\mathbb{R}}),d{\lambda}_{\mathbb{R}}),\ \ \langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)dt$$
   est un espace de Hilbert. Tout comme l'est plus généralement l'espace $L^2({\mathbb{R}}^d,{\cal B}({\mathbb{R}}^d),d{\lambda}_{{\mathbb{R}}^d})$ muni du produit scalaire
   $$\forall f,g\in L^2({\mathbb{R}}^d,{\cal B}({\mathbb{R}}^d),d{\lam... ...\rangle=\int_{{\mathbb{R}}^d}f(t_1,\ldots,t_d)g(t_1,\ldots,t_d)dt_1\ldots dt_d$$
4. Soit $({\Omega},{\cal F},\P)$ un espace de probabilité, et $L^2({\Omega},{\cal F},\P)$ l'ensemble des variables aléatoires réelles de carré intégrable. Muni du produit scalaire
   $$\forall X,Y\in L^2({\Omega},{\cal F},\P),\ \ \langle X,Y\rangle={\mathbb{E}}[XY],$$
   c'est un espace de Hilbert.
5. Soient $X_1,\ldots,X_d\in L^2({\Omega},{\cal F},\P)$. Le sous-espace vectoriel $V(X_1,\ldots,X_d)$ de toutes les combinaisons linéaires de $X_1,\ldots,X_d$ est un espace de Hilbert. Pour tout ${\alpha}\in{\mathbb{R}}^d$, on note $^t{\alpha}.X={\alpha}_1X_1+\cdots+{\alpha}_dX_d$. Alors, si les variables $X_1,\ldots,X_d$ sont centrées,
   $$\forall{\alpha},{\beta}\in{\mathbb{R}}^d,\ \ \langle{}^t{\alpha}.X,{}^t{\beta}.X\rangle={}^t{\alpha}{\Gamma}{\beta}$$
   avec ${\Gamma}$ la matrice de covariance de $(X_1,\ldots,X_d)$.
6. Soit $(X_1,\ldots,X_d)$ une famille de variables aléatoires réelles. Alors le sous-espace vectoriel
   $$L^2(X_1,\ldots,X_d)=\left\{Z\in L^2({\Omega},{\cal F},\P)/Z=f(X_1,\ldots,X_d)\mbox{ p.s.}\right\}$$
   est un espace de Hilbert.
7. Soit $(X_i,i\in I)$ une famille dénombrable de variables aléatoires de $L^2({\Omega},{\cal F},\P)$. L'ensemble $V^2(X_i,i\in I)$ est un espace de Hilbert.
8. Soit $(X_i,i\in I)$ une famille dénombrable de variables aléatoires réelles. L'espace vectoriel
   $$L^2(X_i,i\in I)=\overline{\bigcup_{\scriptstyle J\subset I\atop\scriptstyle\mbox{\textsc{Card}} J<+\infty}L^2(X_i,i\in J)}$$
   est un espace de Hilbert.

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