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Définitions :

Soit $E$ un ${\mathbb{K}}$-espace vectoriel.

• On appelle produit scalaire sur $E$ toute application $\langle.,.\rangle$ de $E\times E$ dans ${\mathbb{K}}$ qui soit bilinéaire, symétrique et définie positive si ${\mathbb{K}}={\mathbb{R}}$, et sesquilinéaire, à symétrie hermitienne et définie positive si ${\mathbb{K}}={\mathbb{C}}$.
• Le couple $(E,\langle.,.\rangle)$ est alors appelé espace préhilbertien. On définit alors un norme dite hilbertienne sur $E$ en posant, pour tout $x\in E$, $\Vert x\Vert_2=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Il est équivalent de connaître le produit scalaire ou la norme hilbertienne, car on a la formule :
  $$\forall x,y\in E,\ \ \langle x,y\rangle=\left\{ \begin{array}{ll}... ...Vert x-iy\Vert_2^2}{4}&\mbox{ si }{\mathbb{K}}={\mathbb{C}} \end{array}\right.$$
• Une suite $(x_n,n\in{\mathbb{N}})$ d'éléments d'un espace vectoriel normé $(E,\Vert.\Vert)$ est dite de Cauchy si
  $$\forall {\varepsilon}>0,\ \exists n_0\in{\mathbb{N}},\ \forall n\geq n_0,\ \forall p\geq0, \Vert x_{n+p}-x_n\Vert<{\varepsilon}\ ;$$
  autrement dit, si
  $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sup_{m\geq n}\Vert x_m-x_n\Vert\right)=0.$$
• Un espace vectoriel normé $(E,\Vert.\Vert)$ est dit complet si toute suite de Cauchy d'éléments de $E$ converge dans $E$.
• L'espace préhilbertien $(E,\Vert .\Vert_2)$ est appelé espace de Hilbert s'il est complet.

Propriété 5.I.1   Soit $(E\Vert.\Vert_2)$ un espace préhilbertien.

1. Inégalité de Cauchy-Schwartz : quels que soient $x,y\in E$, $\vert \langle x,y\rangle\vert\leq\Vert x\Vert_2\Vert y\Vert_2$.
2. Continuité du produit scalaire : si $(U_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ et $(V_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ sont deux suites convergentes dans $E$, de limites respectives $U$ et $V$, alors
   $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\langle U_n,V_n\rangle=\langle U,V\rangle$$

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