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Remarque.

On supposera dans toute la suite les processus ARMA centrés. En conséquence, on pourra remplacer les espaces $V^2(1,X_1,\ldots)$ par $V^2(X_1,\ldots)$.

On pose comme à l'ordinaire

$$\tilde{\varepsilon}_t = X_t-P^\bot_{{\mathbb{V}}^2(X_1,\ldots,X_t)}(X_t)$$

$$= X_t+\sum_{u=1}^{t-1}{\eta}_{t,u}X_{t-u}$$

$$X_t = \tilde{\varepsilon}_t+\sum_{u=1}^{t-1}{\psi}_{t,u}\tilde{\varepsilon}_{t-u}$$

$$\frac{{\theta}(z)}{{\phi}(z)} = 1+\sum_{u\geq1}{\psi}_uz^u$$

Et on note $\hat p$, $\hat q$, $\hat{\phi}$, $\hat{\theta}$, $\hat{\sigma}^2$, $\hat{\psi}_u$, $\hat{\psi}_{t,u}$ et $\hat{\eta}_{t,u}$ les estimateurs des différents paramètres du processus. On souhaite construire un prédicteur de $X_{N+h}$, avec $h\geq1$, qu'on notera $\check X_N(h)$ (plutôt que $\check X_{\left\{1,\ldots,N\right\}}(N+h)$ comme précédemment). Comme le processus est centré, on a

$$\check X_N(h) = P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_N)}(X_{N+h})$$

$$= P^\bot_{V^2(X_1,\ldots,X_N)}(X_{N+h})$$

$$= P^\bot_{V^2(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N)}(X_{N+h})$$

$$= P^\bot_{V^2(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N)}\... ...silon}_{N+h}+\sum_{u=1}^{N+h-1}{\psi}_{N+h,u}\tilde{\varepsilon}_{N+h-u}\right)$$

$$= \sum_{u=h}^{N+h-1}{\psi}_{N+h,u}\tilde{\varepsilon}_{N+h-u}$$

$$= \sum_{u=h}^{N+h-1}{\psi}_{N+h,u}\left(X_{N+h-u}+\sum_{v=1}^{N+h-u-1}{\eta}_{N+h-u,v}X_{N+h-u-v}\right)$$

$$= \sum_{t=0}^{N-1}X_{N-t}\left({\psi}_{N+h,t}+\sum_{s=0}^{t-1}{\psi}_{N+h,s+h}{\eta}_{N-s,t-s}\right)$$

On en déduit le prédicteur linéaire

$$\hat X_N(h)=\sum_{t=0}^{N-1}X_{N-t}\left(\hat{\psi}_{N+h,t}+\sum_{s=0}^{t-1}\hat{\psi}_{N+h,s+h}\hat{\eta}_{N-s,t-s}\right)$$

L'erreur de prédiction vaut

$$\Vert X_{N+h}-\check X_N(h)\Vert_2^2 = \Vert\tilde{\varepsilon}_{N+h}+\sum_{u=1}^{h-1}{\psi}_{N+h,u}\tilde{\varepsilon}_{N+h-u}\Vert_2^2$$

$$= {\sigma}^2\left({\delta}_{N+h}+\sum_{u=1}^{h-1}{\psi}_{N+h,u}^2\delta_{N+h-u}\right)$$

$$\approx {\sigma}^2\left(1+\sum_{u=1}^{h-1}{\psi}_u^2\right)$$

A l'aide de l'inégalité de BienAymé-Tchebicheff, ou en supposant que le processus soit gaussien, on peut déduire de ce calcul d'erreur un intervalle de prévision (approximatif) pour $X_{N+h}$.

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