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Méthode des moindres carrés conditionnels

Les deux méthodes, des moindres carrés ordinaires et du maximum de vraisemblance, sont comme ont l'a vu très proches l'une de l'autre. Elles le sont en particulier en ceci qu'elles nécessitent à chaque évaluation de la fonction à minimiser le calcul de $N(N-1)/2$ coefficients obtenus par l'algorithme des innovations (ce nombre peut néanmoins être bien plus faible dans le cas d'un processus ARMA - voir exercices). Cette complexité peut devenir problématique, notamment pour de grands échantillons. La méthode des moindres carrés conditionnels s'avère alors plus adaptée. Elle est assez similaire aux précédentes, car elle consiste aussi à minimiser les erreurs de prédiction, mais en supposant qu'avant l'instant initial les valeurs inconnues prises par la série $x$ sont nulles, c-à-d en conditionnant par $\{X_i=0,\forall i\leq0\}$. L'erreur de prédiction à l'instant $t$ sachant tout le passé n'est autre que l'innovation :

$${\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(X_{s},s<t)}(X_t)=X_t+\sum_{i=1}^{+\infty}{\eta}_{i}^{\left({\theta},{\phi}\right)}X_{t-i}$$

Conditionnellement à l'événement $\{X_i=0,\forall i\leq0\}$, on a

$${\varepsilon}_t=X_t+\sum_{i=1}^{t-1}{\eta}_{i}^{\left({\theta},{\phi}\right)}X_{t-i}.$$

On pose donc

$$e_t^{\left({\theta},{\phi}\right)}(x)=x_t+\sum_{i=1}^{t-1}{\eta}_{i}^{\left({\theta},{\phi}\right)}x_{t-i},$$

et on choisit comme valeurs de ${\theta}$ et ${\phi}$ celles qui minimisent la fonction

$$\left({\theta},{\phi}\right)\mapsto\sum_{t=1}^Ne_t^{({\theta},{\phi})}(x)^2$$ (36)

L'évaluation de cette fonction ne nécessite plus que le calcul de $N$ coefficients, qui s'opère par récurrence :

$${\eta}_{t}^{({\theta},{\phi})}={\phi}_t-\sum_{u=1}^t{\theta}_u{\eta}_{t-u}^{({\theta},{\phi})}$$

avec ${\eta}_0^{({\theta},{\phi})}=1$ ; cette formule est la conséquence de la relation existant entre les transformées en $z$

$${\theta}(z){\eta}^{({\theta},{\phi})}(z)={\phi}(z)$$

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