Section : Estimateurs des moindres carrés
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Notations.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus ARMA($p,q$) tel que

$${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc gaussien de variance ${\sigma}_{\varepsilon}^2$. Notons ${\phi}=({\phi}_1,\ldots,{\phi}_p)$ et $({\theta}_1,\ldots,{\theta}_q)$. La fonction d'autocorrélation de $X$ est une fonction de ${\phi}$ et ${\theta}$, qu'on notera ${\rho}_{({\theta},{\phi})}$. De même, la fonction d'autocorrélation partielle de $X$, qui se calcule à partir de la fonction d'autocorrélation, est-elle une fonction de ${\phi}$ et ${\theta}$, qu'on notera ${r}_{({\theta},{\phi})}$. La matrice de corrélation d'ordre $k$ sera notée $R_{({\theta},{\phi})}^{(k)}=\left({\rho}_{({\theta},{\phi})}(\vert i-j\vert)\right)_{i,j=1}^k$ , et la matrice de covariance par ${\Gamma}_{({\theta},{\phi},{\sigma}^2)}^{(k)}={\gamma}_X(0)R_{({\theta},{\phi})}^{(k)}$ .

Soit $(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N)$ la base orthogonale de $V^2(X_1,\ldots,X_N)$ construite par l'algorithme des innovations :

$$\tilde{\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(X_1,\ldots,X_{t-1})}(X_t)$$

Il existe des coefficients ${\psi}_{i,j}$ et ${\eta}_{i,j}$ tels que pour tout $t=1,\ldots,N$ et $i=1,\ldots,t-1$, on ait

$$X_t = \tilde{\varepsilon}_t+\sum_{i=1}^{t-1}{\psi}_{t,i}\tilde{\varepsilon}_{t-i}$$

$$\tilde{\varepsilon}_t = X_t+\sum_{i=1}^{t-1}{\eta}_{t,i}X_{t-i}$$

Là encore, ces coefficients ne dépendent que de ${\theta}$ et ${\phi}$ et on les notera plutôt ${\psi}^{({\theta},{\phi})}_{i,j}$ et ${\eta}^{({\theta},{\phi})}_{i,j}$. En effet,

$$P^\bot_{V^2(X_1,\ldots,X_{t-1})}(X_t)=-\sum_{i=1}^{t-1}{\eta}_{t,i}X_{t-i},$$

ce qui implique que les coefficients ${\eta}_{t,i}$ sont déterminés par les équations de Yule-Walker

$$R_{({\theta},{\phi})}^{(t-1)}\left( \begin{array}{c} -{\eta}_{t,1... ...eta},{\phi})}(1)\ \vdots\ {\rho}_{({\theta},{\phi})}(t) \end{array}\right)$$

Les coefficients ${\eta}_{i,j}$ sont donc bien fonction de ${\theta}$ et ${\varphi}$ uniquement. Quant aux coefficients ${\psi}_{i,j}$, ils peuvent être calculés à partir des ${\eta}_{i,j}$. En effet, notons $S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$ et $T_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$ les matrices triangulaires supérieures

$$S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}=\left( \begin{array}{ccccc} 1&{\psi}^... ...s&&\vdots\ &&&1&{\psi}^{({\theta},{\phi})}_{N,1}\ &&&&1 \end{array}\right)$$

et

$$T_{({\theta},{\phi})}^{(N)}=\left( \begin{array}{ccccc} 1&{\eta}^... ...&&\vdots\ &&&1&{\eta}^{({\theta},{\phi})}_{N,1}\ &&&&1 \end{array}\right).$$

Il s'agit bien sûr des matrices de passage entre les deux bases $\left(X_1,\ldots,X_N\right)$ et $\left(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N\right)$ :

$$\left(X_1,\ldots,X_N\right)=\left(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N\right)S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$$

et inversement

$$\left(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N\right)=\left(X_1,\ldots,X_N\right)T_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$$

En particulier, $S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}=\left(T_{({\theta},{\phi})}^{(N)}\right)^{-1}$ . Les coefficients ${\psi}_{i,j}$ sont donc bien fonction des ${\eta}_{i,j}$ et donc de ${\theta}$ et ${\phi}$. On en déduit aussi que

$${\Gamma}_{({\theta},{\phi},{\sigma}^2)}^{(N)} = {\mathbb{E}}\left[{}^t\left(X_1,\ldots,X_N\right)\left(X_1,\ldots,X_N\right)\right]$$

$$= {}^tS_{({\theta},{\phi})}^{(N)}{\mathbb{E}}\left[{}^t\left(\tilde... ...psilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N\right)\right]S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$$

$$= {}^tS_{({\theta},{\phi})}^{(N)}.{\sigma}^2{\Delta}_{({\theta},{\phi})}^{(N)}S_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$$

avec ${\Delta}_{({\theta},{\phi})}^{(N)}$ la matrice diagonale

$${\Delta}_{({\theta},{\phi})}^{(N)}=\left( \begin{array}{ccc} {\de... ...},{\phi})}&&\ &\ddots&\ &&{\delta}_N^{({\theta},{\phi})} \end{array}\right)$$     avec $${\delta}_i^{({\theta},{\phi})}=\frac{\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\tilde{\varepsilon}_i\right)}{{\sigma}^2}.$$

Enfin on notera ${\psi}^{({\theta},{\phi})}_i$ et ${\eta}^{({\theta},{\phi})}_i$ les coefficients apparaissant dans les représentations MA($\infty$) et AR($\infty$) de $X$ :

$$\frac{{\theta}(z)}{{\phi}(z)}=1+\sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}^{({\th... ...,{\phi})}_iz^i=\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{+\infty}{\eta}^{({\theta},{\phi})}_iz^i}$$

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