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Estimation de la partie autorégressive.

Si $X$ est un processus ARMA$(p,q)$ causal et inversible, vérifiant ${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon}),$ alors on a vu que sa fonction d'autocovariance vérifie la relation de récurrence suivante :

$$\forall t\geq q+1\ \ {\gamma}_X(t)+{\phi}_1{\gamma}_X(t-1)+...+{\phi}_p{\gamma}_X(t-p)=0,$$

et que l'on peut en déduire le système d'équations dit aussi de Yule-Walker

$$\left( \begin{array}{ccc} {\rho}_X(q)&\dots&{\rho}_X(q-p+1)\ \v... ...t(\begin{array}{c} {\rho}_X(q+1)\ \vdots\ {\rho}_X(q+p) \end{array}\right)$$

Les estimateurs de Yule-Walker de ${\phi}_1,...,{\phi}_p$ sont donc naturellement définis par

$$\hskip-1cm{ \left(\begin{array}{ccc} \hat{\rho}_X^{(N)}(q)&\dots&... ...at{\rho}_X^{(N)}(q+1)\ \vdots\ \hat{\rho}_X^{(N)}(q+p) \end{array}\right)}$$