Section : Décomposition de Wold
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Définitions :

1. Un processus du second ordre $X$ est dit déterministe ou singulier s'il vérifie
   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t\in V^2(X_u,u<t)~;$$
   autrement dit, si
   $$\forall s,t\in{\mathbb{Z}},\ \ V^2(X_u,u\leq s)=V^2(X_u,u\leq t).$$
   Il est dit régulier si
   $$\bigcap_{t\in{\mathbb{Z}}}V^2(X_u,u\leq t)=\{0\}$$

Théorème 2.IV.1   Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus faiblement stationnaire centré. Alors il existe, et de façon unique, une suite réelle $({\psi_i}, i\geq 1)$, un bruit blanc faible ${\varepsilon}$, et un processus déterministe $Y$ tels que

$$\forall t\in{\mathbb{Z}}\ \ X_t={\varepsilon}_t+\sum_{u=1}^{+\infty}{\psi}_u{\varepsilon}_{t-u}+Y_t$$

la série convergeant pour la norme hilbertienne. De plus

1. $V^2({\varepsilon}_p,p\leq t)\subset V^2(X_p,p\leq t)$.
2. ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation associé à $X$.
3. quel que soit $t$, $Y_t\in\cap_{u\in{\mathbb{Z}}}V^2(X_p,p\leq u)$.
4. ${\varepsilon}$ et $Y$ sont décorrélés.
5. $\sum_{u=1}^{+\infty}{\psi}_u^2<+\infty$ et $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_t)=\Bigl(1+\sum_{u=1}^{+\infty}{\psi}_u^2\Bigr){\sigma}^2+\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (Y_t)$ avec ${\sigma}^2$ la variance de ${\varepsilon}$.