Section : Représentation causale et inversible
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Exercice 23.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus du second ordre, faiblement stationnaire de type AR(1) :

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t={\varepsilon}_t+0,6X_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2_{\varepsilon}=0,036$. Soit ${\varepsilon}'$ un bruit blanc de variance ${\sigma}^2_{{\varepsilon}'}=0,016$, indépendant de ${\varepsilon}$.

1. Montrer que le processus $({\varepsilon}'_t+1,5X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ est faiblement stationnaire. En déduire qu'il existe une solution $Y$ faiblement stationnaire à l'équation
   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ Y_t=0,4Y_{t-1}+{\varepsilon}'_t+1,5X_t$$
2. Montrer que $Y$ est un ARMA(2,1) (Indication : on pourra raisonner en se servant de la densité spectrale, ou en considérant le processus $(1-0,4B)(1-0,6B)(Y)$).
3. Donner de $Y$ une représentation MA($\infty$), déterminée à partir de sa représentation causale et inversible, et préciser le calcul du bruit blanc d'innovation associé à $Y$ en fonction de ${\varepsilon}$ et ${\varepsilon}'$.