Section : Représentation causale et inversible
Précédent : Remarque :
Suivant : Exercice 21.

Définition :

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus faiblement stationnaire. On dit qu'il s'agit d'un processus ARMA décentré si $X-{\mu}_X$ est un processus ARMA.

Il existe aussi, pour les processus ARMA($p,q$) des caractérisations analogues à celles qui ont été établies pour les processus AR($p$) et MA($q$). On admettra celle-ci :

Théorème 2.III.10   (Méthode du coin) Soit $X$ un processus faiblement stationnaire dont la fonction d'autocorrélation tend vers 0 en l'infini. C'est un ARMA($p,q$) - centré ou non - si et seulement si

$$\left\{ \begin{array}{lr} {\Delta}_X(i,j)=0&\ \forall i>q\ ... ...\ {\Delta}_X(q,j)\not=0&\ \forall j\geq p \end{array}\right.$$

avec

$${\Delta}_X(i,j)=\left\vert \begin{array}{cccc} {\rho}_X(i)&{... ...(i+j-1)&\dots&{\rho}_X(i+1)&{\rho}_X(i) \end{array}\right\vert$$