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Théorème

Soit ($U_n$) une surmartingale ; il existe une martingale ($M_n$) et une suite croissante prévisible
(( $A_n )\;\; , \;n\in \{0,1,...,N\}$)) telles que $A_0=0$ et

$$(U_n)=(M_n) -(A_n)$$ (3.9)

Une telle décomposition ( appelée décomposition de Doob) est unique .

Démonstration : Pour établir l'unicité , montrons que la décomposition $(2.9)$ détermine complètement ($A_n$) , (et par conséquent ($M_n$) ) ; à l'origine , tout est facile : $A_0=0$ et $M_0=U_0$ , si bien qu'il suffit de déterminer les accroissements de ($A_n$) ; or , en conditionnant les 2 membres des égalités $\Delta U_n=\Delta M_n-\Delta A_n$ par ${\cal F}_{n-1}$ , on obtient pour $n\geq 1$

$$\Delta A_n=-\textbf{E}[\Delta U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$$ (3.10)

d'où l'unicité ; l'existence se prouve en définissant $(A_n)$ par la formule $(2.10)$ ; la suite ainsi construite est manifestement prévisible ; de plus , $\Delta A_n$ est $\geq 0$ puisque $(U_n)$ est une surmartingale ; $(A_n)$ est donc une suite croissante . Il nous reste à montrer que la suite $(M_n)$ définie par $M_n=U_n+A_n$ est une martingale ; écrivons pour cela
$\Delta M_n=\Delta U_n-\textbf{E}[\Delta U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$ et conditionnons les 2 membres : il vient $\textbf{E}[\Delta M_n\vert {\cal F}_{n-1}]=0$, C.Q.F.D.

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