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Temps d'arrêt optimaux

Reprenons les notations du paragraphe précédent .

1. Définition : On dit qu'un temps d'arrêt $T$ est optimal si $\textbf{E}[Z_T\vert {\cal F}_0]\geq \textbf{E}[Z_S\vert {\cal F}_0]$ quelque soit le temps d'arrêt $S$ .

   Le plus souvent , l'algèbre ${\cal F}_0$ est triviale , si bien que l'inégalité précédente se réduit à
   $\textbf{E}[Z_T]\geq \textbf{E}[Z_S]$ ; quand la suite ($Z_n$) représente l'évolution de la fortune d'un joueur , la
   signification de l'optimalité est tout à fait claire .

2. Proposition:Un temps d'arrêt $T$ est optimal si et seulement s'il vérifie les 2 conditions :
   $$a) \;\;\;\;Z_T=U_T\hspace{3cm}b)\;\;\;\;(U^T_n)\; est\; une\; martingale$$

   Démonstration : Soit $T$ un temps d'arrêt verifiant $a)\; et\; b)$ ; on peut écrire , quelque soit le temps d'arrêt $S$ , (cf ($2.7$))

   $$\textbf{E}[Z_T\vert {\cal F}_0]=\textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_0]=U_0\geq \textbf{E}[U_S\vert {\cal F}_0]\geq \textbf{E}[Z_S\vert {\cal F}_0]\;,$$

   ce qui montre que $T$ est optimal . Remarquons au passage que $T_0$ est optimal d'après la proposition 2 du paragraphe précédent ; on a donc $\textbf{E}[Z_T\vert {\cal F}_0]=\textbf{E}[Z_{T_0}\vert {\cal F}_0] .$
   Réciproquement ,si $T$ un temps d'arrêt optimal , on peut écrire

   $$\textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_0]\geq \textbf{E}[Z_T\vert {\cal F}_0]=\textbf{E}[Z_{T_0}\vert {\cal F}_0]=U_0\geq \textbf{E}[U_{T}\vert {\cal F}_0]$$

   On a donc $\textbf{E}[Z_T]=\textbf{E}[U_T]$ et $Z_T\leq U_T$ , ce qui entraine $Z_T=U_T$ .
   Passons au point $(b)$ : on a

   $$\textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_0]=\textbf{E}[Z_T\vert {\cal F}_0]=U... ...xtbf{E}[U_T\vert {\cal F}_0]=\textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_n\vert {\cal F}_0]\;.$$

   Il en résulte que les v.a.r. $U_{T\wedge n}$ et $\textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_n]$ ont même espérance ; comme elles sont comparables , elles sont égales , ce qui termine la démonstration .

3. Corollaire: $T_0$ est optimal et tout temps d'arrêt optimal est $\geq T_0$ .

   Nous avons en effet déjà noté que $T_0$ était optimal ; le reste provient de ce que , de par sa définition , $T_0$ est la plus petite v.a. vérifiant ($a$) .

4. Remarque : Désignons par ${\cal T}_n$ la famille des temps d'arrêt $\geq n$ et posons
   $$D_n=inf\{p\geq n \;\vert X_p=U_p\} ;$$
   on a alors
   $$\textbf{E}[Z_{D_n}\vert{\cal F}_n]\geq \textbf{E}[Z_T\vert{\cal F}_n]\;\;\;\forall T\in {\cal T}_n .$$
   Nous laissons le lecteur réfléchir à une démonstration .

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