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Enveloppe de Snell d'une suite adaptée

Soit $(Z_n\;\;\;0\leq n\leq N)$ une suite de v.a.r. adaptée à une filtration $({\cal F}_n)$ . Définisssons par récurrence descendante une suite $(U_n\;\;\;0\leq n\leq N )$ par les égalités

$$U_N=Z_N\hspace{2cm}U_n=\sup (Z_n, \textbf{E}[U_{n+1}\vert {\cal F}_n])\;\;\;\;(0\leq n<N) .$$ (3.8)

Il est clair que $(U_n)$ est une suite adaptée ; d'autre part, les inégalités $U_n\geq Z_n$ et $U_n\geq \textbf{E}[U_{n+1}\vert {\cal F}_n]$ résultant de $(24)$ , montrent que $(U_n)$ est une surmartingale majorant $(Z_n)$ .

1. Proposition: $(U_n)$ , qui est appelée enveloppe de Snell de $(Z_n)$, est la plus petite surmartingale majorant $(Z_n)$

   Démonstration: elle se mène par récurrence descendante ; soit $(V_n)$ une surmartingale majorant $(Z_n)$ ; on a $V_N\geq Z_N=U_N$ ; d'autre part l'hypothèse de récurrence que l'on écrira $V_{n+1}\geq U_{n+1}$ entraine la suite d'inégalités

   $$V_n\geq \textbf{E}[V_{n+1}\vert {\cal F}_n]\geq \textbf{E}[U_{n+1}\vert {\cal F}_n] \geq U_n$$

   d'où le résultat .

2. Proposition: Posons $T_0=\inf \{ n\geq 0\;\vert\; U_n=Z_n\}$ ; $T_0$ est un temps d'arrêt et $(U^{T_0}_n)$ est une martingale .

   Démonstration : $T_0$ est un temps d'arrêt car c'est le temps d'entrée d'une suite adaptée (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter) , dans un sous ensemble de ${\mathbb{R}}$ . D'autre part , $(U^{T_0}_n)$ est la suite transformée de la suite $(U_n)$ par la suite prévisible $(\phi _n)$ définie par $\phi _n=1_{\{n\leq T_0\}}$ . On a donc $\Delta U^{T_0}_n=\phi _n\Delta U_n$ , puis $\textbf{E}[\Delta U^{T_0}_n\vert {\cal F}_{n-1}]=\textbf{E}[1_{\{n\leq {T_0}\}}\Delta U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$ ; mais sur l'événement $\{n\leq T_0\}=\{n-1<T_0\}$ , $U_{n-1}$ est strictement supérieur à $Z_{n-1}$ par définition de $T_0$, de sorte que $U_{n-1}=\textbf{E}[U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$ ; on a donc

   
   

   $$\textbf{E}[\Delta U^{T_0}_n\vert {\cal F}_{n-1}] = \textbf{E}[1_{\{n\leq T_0\}}(U_n-\textbf{E}[U_n\vert {\cal F}_{n-... ..._0}\}}\textbf{E}[(U_n-\textbf{E}[U_n\vert {\cal F}_{n-1}])\vert {\cal F}_{n-1}]$$

   $$=$$ 0

   
   

   ce qui montre la proposition .

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