Section : Le théorème d'arrêt
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Temps d'entrée:

Soit $(X_n)$une suite adaptée à une filtration $({\cal F}_n)$ de v.a. à valeurs dans $E$ et soit $\Gamma$ un sous ensemble de $E$ ; on pose

$$T_{\Gamma}=\inf\{n\leq N \vert X_n\in \Gamma\}$$

(avec la convention $\inf \phi =N$)

Proposition:

$T_{\Gamma}$ est alors un temps d'arrêt qu'on appelle temps d'entrée de la suite $(X_n)$ dans l'ensemble $\Gamma$

Démonstration:

$\{T=0\}=\{X_0\in \Gamma\}\in {\cal F}_0 \;\;,\hspace{1cm}\{T=N\}=\{X_0\notin \Gamma ; X_1\notin \Gamma ; ...;X_{N-1}\notin \Gamma \}\in {\cal F}_N$

et pour $0<n<N , \hspace{2.5cm}\{T=n\}=\{X_0\notin \Gamma ; ...;X_{n-1}\notin \Gamma;X_n\in \Gamma\}\in {\cal F}_n$

Il y a beaucoup d'autres exemples de temps d'arrêt, les plus simples d'entre eux étant les temps d'arrêt constants. On pourra d'autre part vérifier que la borne inférieure, la borne supérieure et la somme de 2 temps d'arrêt sont des temps d'arrêt ; ainsi, $T\wedge 1$ et $T+1$ sont des temps d'arrêt ; on réfléchira une minute au fait que $T-1$ n'est pas nécessairement un temps d'arrêt : un joueur peut décider de s'arrêter de jouer après le premier coup qui lui a fait perdre plus de 1000 F mais il lui est malheureusement impossible de le faire à l'instant immédiatement précédent.