Section : Temps d'arrêt
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Le théorème d'arrêt

Soient $(\Omega , ({\cal F}_n) , \textbf{P})$ un espace filtré et $T$ un temps d'arret ; si $(M_n)$ est une $({\cal F}_n)$-martingale (resp. une sur ou une sous-martingale), il en est de même de $(M^T_n)$.

Voici d'autres formes utiles du théorème d'arrêt ; dans ce qui suit, $(M_n)$ desigera une martingale,
$(U_n)$ une surmartingale, et $T$ un temps d'arrêt.

1. $$M_{T\wedge n}=\textbf{E}[M_T\vert {\cal F}_n] \hspace{3cm}M_0=\textbf{E}[M_T\vert {\cal F}_0]$$

2. $$U_{T\wedge n}\geq \textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_n]\hspace{3cm}\textbf{E}[U_{T\wedge n}\vert {\cal F}_0]\geq \textbf{E}[U_T\vert {\cal F}_0]$$ (3.7)

   
   

Montrons , par exemple , les inégalités de la deuxième ligne ; puisque $(U^T_n)$ est une surmartingale , $U^T_n\geq \textbf{E}[U^T_N\vert {\cal F}_n]$, ce qui montre la première inégalité, (et la seconde moyennant un conditionnement supplémentaire relativement a ${\cal F}_0$) .