Section : Temps d'arrêt
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Proposition:

Soient $((M_n)\;\; ;\;\; 0\leq n\leq N)$ une suite de v.a. et $T$ une v.a à valeurs dans $\{0,1,...,N\}$ ;
on pose $U_n=1_{\{n\leq T\}}$ ; la transformée de $(M_n)$ par la suite $(U_n)$ est $(M^T_n)$
Démonstration: Il suffit de vérifier, ce qui est facile au vu des définitions, que

$$\Delta (M^{T})_{n}=U_{n}M_{n}\;\;\;\forall n\geq 1$$

Nous allons maintenant nous demander àquelle condition $(U_n)$ est prévisible. La réponse est fournie par les équivalences suivantes :

$$\forall n\;\;\;\;\;\{n\leq T\}\in {\cal F}_{n-1} \Leftrightarrow \{n>T\} \in {\cal F}_{n-1} \Leftrightarrow \{T \leq n\} \in {\cal F}_n .$$

On remarquera d'autre part que

$$\{T\leq n\}\in {\cal F}_n \;\;\;\;\;\forall n \;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\{T=n\}\in {\cal F}_n\;\;\;\;\;\forall n \;$$ (3.6)

ce qui nous conduit a la définition suivante :