Section : Proriétés markoviennes d'une marche
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Matrice de transition d'une marche aléatoire

Soient $\mu$ une loi de probabilité sur ${\mathbb{R}}^d$ de support fini $F$ et $((Y_n)\; ; \;\;n\geq 1)$ une suite de v.a. indépendantes équidistribuées de loi $\mu$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ . On pose

$$X_0=0\;\;\;\; , \;\;\;X_n=\sum_{i=1}^{i=n}Y_i\;\;\;\;\forall n\geq 1$$

$(X_n)$ est alors une chaine de Markov de matrice de transition $P_{ij}=\mu(j-i)$

Démontrons cela ; on a , en vertu de $(\ref{CIND})$

$$\textbf{E}[f(X_{n+1})\vert {\cal F}_n]=\textbf{E}[f(X_n+Y_{n+1})\vert {\cal F}_n]=\sum_{k\in F}f(X_n+k)\mu (k)=Pf(X_n)$$

quand on a posé $Pf(i)=\sum_{k\in F}f(i+k)\mu(k)=\sum_{j\in F+i}f(j)\mu(j-i)$ ; on en déduit immédiatement le résultat annoncé .