Section : Marchés viables et martingales
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Théorème :

Un marché financier est viable si et seulement s'il existe une probabilité $\textbf{P*}$ admettant $\Omega$ comme support sous laquelle les cours actualisés des actifs $((\tilde S_j^k)\;\;\;0\leq j\leq N)$ sont des martingales.

Démonstration : a) Supposons qu'il existe une probabilité $\textbf{P*}$ de support $\Omega$ sous laquelle les cours actualisés des actifs $(\tilde S_j^k\;\;\;0\leq j\leq N)$ sont des martingales. Soit $\phi =(\phi_j^k)$ une stratégie autofinancée telle que $V_0(\phi)=0$ ; puisque $\phi$ est autofinancée, on a, quelque soit $n\geq 1$ ,

$$\tilde V_n(\phi)=\sum_{i=1}^{i=n}<\phi _i\;,\;\Delta \tilde S_i>=\sum_{k=0}^{k=d}(\phi ^k*\tilde S^k)_n.$$

Sous $\textbf{P*}$, $(\tilde V_n(\phi))$ est une martingale nulle à l'origine ; elle vérifie donc
$\textbf{E*}[\tilde V_N(\phi)]=0$ ; il est alors clair que $\tilde V_N(\phi)$ ne peut pas être une v.a. $\geq 0$ non nulle. b) Réciproquement, supposons le marché viable ; nous allons appliquer le théorème de Hahn-Banach dans la situation suivante :

• $E$ sera l'espace euclidien des v.a.r. sur $\Omega$ muni du produit scalaire
  $$<X , Y>= \sum_{\omega \in \Omega}X(\omega)Y(\omega) \;\;.$$
• $\textbf {V}$ désignera le sous ensemble de $E$ formé par les v.a.r. $\tilde V_{N}(\phi)$ quand $\phi$ décrit l'ensemble $\textbf {S}_{0}$ des statégies autofinancées telles que $V_{0}(\phi)=0$. Il est facile de voir que $\textbf {V}$ est un sous espace vectoriel de $E$.
• On notera $\textbf {K}$ le sous ensemble de $E$ formé des v.a.r. $X$ positives vérifiant
  $\sum_{\omega \in \Omega }X(\omega)=1$ ; nous laissons au lecteur le soin de vérifier que $\textbf {K}$ est convexe et compact. On remarquera qu'une v.a. $X$ de $\textbf {K}$ vérifie
  $[X>0]\not= \phi$ ; puisqu'il n'existe pas de stratégie d'arbitrage, $\textbf {V}$ et $\textbf {K}$ sont disjoints.

Appliquons alors le théorème de Hahn-Banach à $\textbf {V}$ et $\textbf {K}$ : il existe une v.a.r. $\alpha$ telle que

$$\sum_{\omega \in \Omega}\alpha(\omega) X(\omega) >0\;\;\;\forall ... ...lpha (\omega)\tilde V_N(\phi)(\omega)=0\;\;\;\;\forall \phi \in \textbf {S}_{0}$$ (4.13)

On notera que la première inégalité entraine $\alpha(\omega)>0 \;\;\forall \omega$ (considérer les v.a. $X$ qui sont les indicateurs des points). Posons alors

$$\parallel \alpha \parallel =\sum_{\omega \in \Omega}\alpha (\omeg... ...pace{1cm};\hspace{1cm}\textbf{P*}=\frac{\alpha}{\parallel \alpha \parallel} \;.$$

$\textbf{P*}$ est une probabilité chargeant tous les points de $\Omega$ ; avec cette notation la deuxième égalité de (4.13) s'écrit

$$\textbf {E*}[\tilde V_{N}(\phi)Â¥]=0\;\;\;\;\forall \phi \in \textbf {S}_{0}\; .$$ (4.14)

Nous allons montrer que $(\tilde S_{n})$ est une martingale sous $\textbf{P*}$ en utilisant la caractérisation 3.4.2 ; à cet effet, donnons nous une suite vectorielle prévisible

$$(\psi_{n})=(\psi_{n}^k¥)\;\;,\;k=1,2,\ldots ,d\;\;,\;\;n=0,1,2,\ldots , N$$

à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ et désignons par $(\phi_{n}Â¥)$, la stratégie de $\textbf {S}_{0}Â¥$ associée à $\psi$ en application du théorème 4.2.2 (avec $V_{0}=0)Â¥$. Notons $(\sigma_{n})$ la suite vectorielle,

à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ des actifs risqués actualisés et $[\;\;,\;\;]$ le produit scalaire usuel dans ${\mathbb{R}}^d$. Un calcul simple conduit à l'égalité

$$(\psi *\sigma)_{N}=[\psi_{0}\;,\;\sigma_{0}]+\tilde V_{N}(\phi)$$

Prenons l'espérance des 2 membres sous $\textbf{P*}$ ; il vient, compte tenu de (4.14), $\textbf {E*}[(\psi*\sigma)_{N}]=\textbf {E*}[\psi_{0}\;,\;\sigma_{0}]$ ce qui montre, (Cf.3.4.2.), que $(\sigma _{n}Â¥)$ est une P*-
martingale . Il reste à remarquer que l'actif sans risque actualisé $(\tilde S^{0}_{n})$ est une martingale triviale.

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