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Options européennes

Rappelons d'abord brièvement les mécanismes boursiers (déjà décrits dans l'introduction) à l'origine des 2 options européennes les plus importantes : les options d'achat (en franglais call) et les options de vente (ou put).

Le possesseur d'un call européen de prix d'exercice $K>0$ et de date d'exercice $N$ émis par une banque sur l'actif à risque sous-jacent $l$ se trouve investi du droit d'acheter à la date $N$ l'actif $l$ au prix $K$. Examinons de quelle façon il peut monnayer ce droit à la date d'exercice.

• Si $S_{N}^l>K$, Il achète l'actif $l$ à la banque au prix $K$ (on dit alors qu'il exerce son option) puis s'empresse de revendre ce même actif sur le marché au prix $S_{N}^lÂ¥$ ; la valeur de l'option à la date $N$ est le bénéfice que lui procure cette opération, à savoir $S_{N}^l-K$.
• Si, au contraire, $S_{N}^l<KÂ¥$, le droit procuré par la détention du call n'a plus aucun intérêt puisqu'on peut se procurer sur le marché l'actif sous-jacent à un prix $<K$. Dans ce cas, la valeur de l'option d'achat à la date $N$ est nulle.

En résumé, la valeur ou le prix du call à sa date d'exercice $N$ sera $(S_{N}^{l}-K)^{+}$.

Une option de vente européenne (ou put européen) de prix d'exercice $K$ et de date d'exercice $N$ sur l'actif sous -jacent $l$ permet à son détenteur de vendre $l$ á la date $N$ au prix $K$. Par un raisonnement en tout point similaire au précédent, on conclut que le prix de ce put à la date $N$ est $(K-S_{N}^{l})^{+}Â¥$.
Par abut de langage on identifie souvent une option européenne à sa valeur à la date d'exercice ce qui explique la définition suivante:

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