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Théorème

Soient $V$ un sous espace vectoriel et $K$ une partie convexe compacte de $E$ ne rencontrant pas $V$ ; il existe alors un vecteur $a$ de $E$ vérifiant

$$<a,x>>0\;\;\; \forall x\in K\hspace{2cm}<a,y>=0\;\;\;\forall y\in V$$

Démonstration : Notons tout d'abord que $V$, sous espace d'un espace vectoriel de dimension finie, est fermé . Posons $C=K+V=\{x+y\;\vert \;x\in K\;;\; y\in V\}$ ; nous ferons la démonstration en 2 étapes.

1. $C$ est fermé, convexe et ne contient pas 0 ; nous nous bornerons à montrer le premier point, les autres étant faciles ; soit $z_n=x_n+y_n\;\;\;(x_n\in K\; ;\;y_n\in V)$ une suite convergente de points de $C$ ; il s'agit de montrer que la limite $z$ de la suite $(z_n)$ est dans $C$ ; puisque $K$ est compact, il existe une sous suite ($x_{n_k}$) de $(x_n)$ qui converge vers un vecteur $x$ de $K$ ; $y_{n_k}=z_{n_k}-x_{n_k}$ converge alors vers $z-x$, lequel appartient a $V$ puisque $V$ est fermé ; il ne reste qu'à écrire $z=x+(z-x)$ pour prouver que $z\in C$ .
   
2. D'après un résultat classique sur les espaces euclidens, il existe dans $C$ un point $a$ unique de norme minimale. Soit $x$ un vecteur quelconque de $C$ et $\theta \in \; ]0,1]$ ; puisque $C$ est convexe, $a+\theta (x-a)\in C$, de sorte que $\Vert a\Vert ^2\leq \Vert a+\theta (x-a)\Vert ^2$ ; développant le second membre , on obtient les inégalités
   $$2<a,x-a>+\theta \Vert x-a\Vert ^2\geq 0\;\;\;\forall \theta \in \;]0 \;1]\;.$$

   Faisant tendre $\theta$ vers 0 en décroissant, il vient $<a,x>\geq \Vert a\Vert ^2>0\;\;\;\forall x\in C$ .
   Il nous reste à montrer que la forme lineaire $<a,.>$ est nulle sur $V$ ;
   soient $x\in K\;,\;y\in V\;,\;\lambda \in {\mathbb{R}}$ ; $x+\lambda y$ est alors dans $C$, de sorte que
   $<a,x+\lambda y>\geq \Vert a\Vert ^2$ ; la fonction affine $\lambda \mapsto <a,x>+\lambda <a,y>$, définie sur ${\mathbb{R}}$ , ne peut être uniformément minorée que si elle est constante ; on a donc $<a,y>=0$, ce qui termine la démonstration.

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