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Test de Dickey-Fuller.

Supposons qu'on cherche à modéliser $x=(x_1,\ldots,x_N)$ par un AR(1) décentré $(1+{\phi}B)(X-{\mu})={\varepsilon}$. Si $x$ est effectivement une réalisation d'un processus AR(1) avec $\vert{\phi}\vert<1$, alors les estimateurs précédemment vus sont asymptoiquement des gaussiennes de moyenne ${\phi}$ et de variance proportionnelle à $1/N$. S'il s'agit en réalité d'un processus intégré, c'est-à-dire si ${\phi}=-1$, alors ce résultat asymptotique n'est plus vrai. Il convient donc de tester au préalable cette hypothèse.

On pose $\nabla X_t=X_t-X_{t-1}={\mu}^*+{\phi}^*X_{t-1}+{\varepsilon}_t$ , avec ${\phi}^*=-1-{\phi}$. Tester H$_0$ : ${\phi}=-1$ contre H$_1$ : ${\phi}>-1$ revient à tester ${\phi}^*=0$ contre ${\phi}^*<0$.

On suppose connu le processus entre les instants $1$ et $N$, et on estime les coefficients ${\mu}^*$ et ${\phi}^*$ par une régression linéaire ordinaire. L'estimateur $\hat{\phi}^*$ ainsi obtenu a pour variance

$$\hat{\sigma}^2_{{\phi}^*}={\displaystyle \sum_{t=2}^N(\nabla X_t-... ...(\sum_{t=1}^{N-1}X^2_{t}-{1\over N-1}\bigl(\sum_{t=1}^{N-1}X_t\bigr)^2\Bigr) }$$

Sous l'hypothèse H$_0$, on a le résultat asymptotique suivant :

$$\lim_{N\rightarrow \infty}\P\Bigl({\hat{\phi}^*\over\hat{\sigma}_{\phi^*}}\in[-t_{\alpha},0]\Bigr)=1-{\alpha}$$

avec $t_{1\%}=3,43$, $t_{5\%}=2,86$ et $t_{10\%}=2,57$.