Section : Modèles SARIMA
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Exercice 3.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{N}})$ un processus du second ordre vérifiant le modèle SARIMA(1,1,1)(0,1,0)$_4$ suivant :

$$\forall t\geq6,\ \ (I-B)(I-B^4)(I+{\phi}B)(X)_t=(I+{\theta}B)({\varepsilon})_t$$

avec $\vert{\phi}\vert,\vert{\theta}\vert<1$, et ${\varepsilon}$ bruit blanc.

1. Déterminer une équation de récurrence vérifiée par la fonction moyenne du processus $X$.
2. En déduire le type de séries que l'on peut modéliser avec ce processus.
3. Mêmes questions en supposant cette fois que $X$ est de modèle SARIMA(1,0,1)(0,2,0)$_4$ :
   $$(I-B^4)^2(I+{\phi}B)(X)_t=(I+{\theta}B)({\varepsilon})_t$$