Section : Représentation causale et inversible
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Exercice 25.

Soient $A$ et $B$ deux gaussiennes centrées réduites, ${\lambda}\in{\mathbb{R}}$, et $X$ le processus défini par $X_t=A\cos(2{\lambda}{\pi}t)+B\sin({\lambda}t)$ pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$.

1. Montrer que $X$ est faiblement stationnaire.
2. On suppose que ${\lambda}=p/q$ avec $p,q$ entiers irréductibles. Montrer que la fonction d'autocorrélation partielle de $X$ s'annule à partir du rang $q+1$. Peut-on en déduire que $X$ est un processus auto-régressif ? Montrer qu'il s'agit d'un processus déterministe.
3. On suppose ${\lambda}$ irrationnel. Alors l'ensemble $\left\{p{\lambda}+q; p\in{\mathbb{N}},q\in{\mathbb{Z}}\right\}$ est dense dans ${\mathbb{R}}$. En déduire que pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$, il existe une suite $(t_n,n\in{\mathbb{N}})$ d'entiers tendant vers $-\infty$ telle que $\Vert X_{t_n}-X_t\Vert_\infty$ tende vers 0. Montrer que $X$ est déterministe.