Section : Enveloppes de Snell et
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Proposition

Définissons par récurrence descendante une fonction $u:{\mathbb{N}}\times E \mapsto {\mathbb{R}}$ à l'aide des égalités

$$u(N , i) = f(N , i)\;\;\;\;\; \forall i \in E$$

$$u(n , i) = f(n,i)\vee Pu(n+1,.)(i)\;\;\;\;\; (=\sum_{j\in E}p_{ij}u(n+1,j))\;\;\;\forall i\in E \;\;\;\forall n<N$$

$(U_n)$ est alors égale à $(u(n,X_n))$ .

Démonstration : Elle se mène par récurrence descendante ; si nous supposons vraie l'égalité

$$U_{n+1}=u(n+1,X_{n+1}) \;,$$

on aura , en vertu de la propriété de Markov , $\textbf{E}[U_{n+1}\vert{\cal F}_n]=Pu(n+1,.)(X_n)$ , d'où

$$U_n=f(n,X_n)\vee Pu(n+1,.)(X_n)=u(n,X_n)$$