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Proposition

On a les égalités suivantes :

$$(a)\hspace{0.5cm}U_n=\bigvee _{T\in {\cal T}_n} \textbf{E}[Z_T\ve... ...5cm} U_n=\textbf{E}[U_{D_n}\vert {\cal F}_n]=\textbf{E}[Z_{D_n}\vert{\cal F}_n]$$

Démonstration : Appelons $X_n$ la v.a. figurant au second membre de l' égalité (a).

• Soient $T_1 \;et\; T_2\;\in{\cal T}_n$ ; montrons qu'il existe un troisième temps d'arrêt $T \in {\cal T}_n$ tel que
  $$\textbf{E}[Z_T\vert{\cal F}_n]=\textbf{E}[Z_{T_1}\vert{\cal F}_n]\vee \textbf{E}[Z_{T_2}\vert{\cal F}_n]$$
  Posons pour cela $A=\{\textbf{E}[Z_{T_1}\vert{\cal F}_n]\geq \textbf{E}[Z_{T_2}\vert{\cal F}_n]\}\;\;\;et\;\;T=T_11_A +T_21_{A^c}$ ; nous laissons au lecteur le soin de montrer que $T$ vérifie la propriété cherchée .
• Comme l'ensemble ${\cal T}_n$ est fini , on en déduit aisément par récurrence qu'il existe un t.a. $R_n\in {\cal T}_n$ vérifiant $X_n=\textbf{E}[Z_{R_n}\vert{\cal F}_n]$ .
• Puisque la contante $n\in {\cal T}_n$ , $X_n\geq Z_n$ . D'autre part , on a $\textbf{E}[X_{n+1}\vert{\cal F}_n]=\textbf{E}[Z_{R_{n+1}}\vert{\cal F}_n]\leq X_n$ , car $R_{n+1}\in {\cal T}_n$ . $(X_n)$ est ainsi une surmartingale majorant $(Z_n)$ et est de ce fait $\geq (U_n)$ .
• Pour achever de montrer que $(X_n)=(U_n)$ , notons que , quelque soit $T \in {\cal T}_n$ , $\textbf{E}[Z_T\vert{\cal F}_n]\leq \textbf{E}[U_T\vert{\cal F}_n]\leq U_n$ ; un passage à la borne supérieure quand $T$ décrit ${\cal T}_n$ prouve alors l'inégalité $X_n\leq U_n$ .
• Passons aux egalités (b) ; la remarque faite au paragraphe précédent montre que $X_n=\textbf{E}[Z_{D_n}\vert{\cal F}_n]$ ; de plus , de par la définition de $D_n$ , $Z_{D_n}=X_{D_n}$ , ce qui termine la démonstration .