Section : Une réciproque au théorème
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Proposition :

Soit $((X_{n})\;\;;\;\;1\leq n\leq N)$ une suite vectorielle adaptée telle que pour toute suite prévisible vectorielle $(U_{n})$, on ait $\textbf {E}[(U*X)_{N}Â¥]=\textbf {E}[<U_{0},X_{0}>]$ ; $(X_{n}Â¥)$ est alors une martingale.

Démonstration : On se ramène aisément au cas unidimensionnel. Si $T$ un temps d'arrêt, la suite $U_{n}=1_{\{n\leq T\}}$ est prévisible, et $(U*X)_{N}=X_{T}$ ; on a donc

$$\textbf {E}[X_{T}Â¥]=\textbf {E}[X_{0}Â¥]\;\;\;\;\;\;\forall T$$

Si $A$ est un événement de ${\cal F}_{n}Â¥$, on voit facilement que la variable aléatoire
$T=n1_{A}+(n+1)1_{A^c}$ est un temps d'arrêt, pour lequel $X_{T}=X_{n}1_{A}+X_{n+1}1_{A^c}$ ; on peut donc écrire

$$\textbf {E}[X_{0}]Â¥=\textbf {E}[X_{n}1_{A}+X_{n+1}(1-1_{A})]=\textbf {E}[(X_{n}-X_{n+1})1_{A}] +\textbf {E}[X_{0}]\;.$$

On a donc $\textbf {E}[X_{n}1_{A}]=\textbf {E}[X_{n+1}1_{A}]\;\;\; \forall A\in {\cal F}_{n}$ ; la caractérisation ( 2.3.3 ) entraîne alors l'égalité $X_{n}=\textbf {E}[X_{n+1}\vert{\cal F}_{n}]$, ce qui termine la démonstration.