Section : Filtrations ; suites adaptées
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Définitions :

• On appellera filtration sur $\Omega$ une suite croissante d'algèbres $({\cal F}_0 , {\cal F}_1,{\cal F}_2,...{\cal F}_N)$ sur $\Omega$ . Un espace probabilisé muni d'une filtration sera appelé espace filtré
  
• On dira qu'une suite $(X_0,X_1,X_2,...,X_N)$ de v.a. est adaptée à cette filtration si ,
  $\forall i \in \{0,1,2,...,N\} , \;\;X_i$ est ${\cal F}_i$-mesurable .
  
• On dira que cette suite est prévisible si $\forall i\in\{0,1,2,...,N\}\,\,\, , X_i$ est ${\cal F}_{i-1}$-mesurable ; (en convenant que ${\cal F}_{-1}={\cal F}_0$).
  
• Soit ( $X_0,X_1,X_2,...,X_N$) une suite de v.a. . On appellera filtration naturelle engendrée par cette suite la filtration ${\cal F}_n={\cal F}(X_0,X_1,X_2,...,X_n)$ ; (nous avons vu en 2.3.1 qu'il s'agissait bien d'une filtration).
  La suite($X_n$) est adaptée a cette filtration tandis que la suite ($X_{n-1}$) ,(avec la convention $X_{-1}=X_0$) ,est prévisible. On peut construire à l'aide de ($X_n$) d'autres suites adaptées
  intéressantes : supposons, pour simplifier, que les v.a. $X_n$ soient à valeurs dans le même espace $E$ et donnons nous une suite ( $\phi _n:E^{n+1}\mapsto{\mathbb{R}}$) d'applications numériques ; pour tout $n$, la v.a.r. $Y_n=\phi _n(X_0,X_1,X_2,....,X_n)$ est ${\cal F}_n$-mesurable , (elle est constante sur chaque atome de ${\cal F}_n$) , de sorte que la suite $(Y_n)$ est adaptée ; dans le cas ou les v.a. $X_n$ sont réelles , les suites
  $S_n=X_0+X_1+X_2+....+X_n\; et \;\Pi_n=X_0X_1X_2...X_n$ sont ainsi des suites adaptées .