Section : Prix et couverture d'un
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Proposition

Soit $(n,x)\mapsto u(n,x)\;\;\;\;(n\in\{0,1,2,...,N\}\;\;\;;\;\;x\in{\mathbb{R}}_+$ ) la suite de fonctions definie par récurrence descendante par les égalités

$$u(N,x)=(K-x)^+\;\;;\;\;u(n-1,x)=(K-x)^+\vee \frac{pu(n,(1+a)x)+(1-p)u(n,(1+b)x)}{1+r} \;\;\;.$$

Le prix $U_n$ du put américain de prix d'exercice $K$ sur l'actif risqué $S$ est alors $U_n=u(n,S_n)$ à la date $n$

Démonstration : On a , d'après 5.2.2 , $U_{n-1}=Z_{n-1}\vee \frac{1}{1+r}\textbf{E*}[U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$ ; raisonnons par récurrence descendante , et supposons que $U_n$ puisse s'écrire $u(n,S_n)$ ; l'égalité précédente devient alors

$$U_{n-1}=(K-S_{n-1})^+\vee \frac{1}{1+r}\textbf{E*}[u(n,S_{n-1}T_n)\vert {\cal F}_{n-1}]$$

Il ne reste plus qu'à appliquer la formule (13) pour obtenir le résultat .