Section : Call américains et call
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Proposition

Soient $(S_n)$ un actif risqué et $K$ un réel $\geq 0$ ; les prix du call américain $((S_n-K)^+\;\;\;\;0\leq n\leq N)$ et du call européen $(S_N-K)^+$ sont égaux .

Démonstration: Posant $Z_n=(S_n-K)^+$ , et appelant $c_n$ le prix à la date $n$ du call européen $(S_N-K)^+$ , il suffit de montrer que $c_n\geq Z_n\;\;\;\forall n$ . Or ,
$\tilde c_n=\textbf{E*}[(\tilde S_N-\beta _NK)^+\vert {\cal F}_n]\geq\textbf{E*}[\tilde S_N-\beta_NK\vert {\cal F}_n]=\tilde S_n-\beta_N K$ .
Mais comme $\tilde c_n \geq 0$ , on a aussi $\tilde c_n\geq (\tilde S_n-\beta_NK)^+\geq (\tilde S_n-K)^+$ , d'où le résultat .

Le résutat analogue n'est pas vrai pour les options de vente .