Section : Les prix d'une option
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Proposition :

Soit $\Pi(h)$ le sous ensemble de ${\mathbb{R}}_{+}Â¥$ contitué par les prix excluant l'arbitrage de l'option $h$ ; on a

$$\Pi(h)=\{\;\textbf {E*}[\tilde{h}]\;\;;\;\textbf {P*}\in \cal{P}\;\}$$ (4.31)

Démonstration

1. Soit $\pi \in \Pi(h)$ ; il existe alors une suite adaptée $(h_{n}Â¥)$ vérifiant $h_{N}=h\;\;\mathrm{et}\;\;h_{0}=\piÂ¥$ telle que le marché $\big(\Omega,(S_{n},h_{n}),\textbf {P}\big)$ soit viable. Il existe donc (Cf. ) une probabilité $\bar{\textbf {P}}$ chargeant tous les points de $\Omega$ sous laquelle $(\tilde{S}_{n}Â¥)$ et $(\tilde{h}_{n}Â¥)$ sont des martingales ; il en résulte en particulier que $\bar{\textbf {P}}\in \cal{P}$. De plus, $\pi = h_{0}= \bar{\textbf {E}}[\tilde{h}]$, ce qui montre que $\pi$ appartient au membre de droite de (4.31).
2. Inversement, soient $\textbf {P*}\in \cal{P}$ et $\pi =\textbf {E*}[\tilde{h}]$ ; posons $\tilde{h}_{n}=\textbf {E*}[\tilde{h}\vert{\cal F}_{n}] =\beta_{n}Â¥ h_{n}$ . Comme $(\tilde{S}_{n})\;\mathrm{et}\;(\tilde{h}_{n})$ sont des $\textbf{P*}$-martingales, le marché étendu $\big(\Omega,(S_{n},h_{n}),\textbf {P}\big)$ est viable ; d'autre part, on voit immédiatement que $h_{0}=\piÂ¥$ et $h_{N}=hÂ¥$ ; il en résulte que $\pi \in \Pi(h)$.