Section : Espérance d'une variable aléatoire
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Definition

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs réelles;on posera

$$\textbf{E}[X]= \sum_{\omega \in \Omega } X(\omega )\textbf{P}(\omega )$$ (1.5)

Rappelons quelques propriétés essentielles de l'espérance résultant imméditement de sa définition :

• Espérance d'un indicateur : On a $\textbf{E}[1_A]=\textbf{P}A$ quelque soit l'événement $A$
• Linéarité: Si $X$ et $Y$ sont 2 v.a.r et si $\alpha$ et $\beta$ sont 2 nombres réels , on a
  $$\textbf{E}[\alpha X+\beta Y] =\alpha\textbf{E}[X] +\beta \textbf{E} [Y]$$
• Positivité: Si $X$ est positive , son espérance est positive et n'est nulle que si $X$ est presque sûrement nulle
• Inegalité de convexité: Si $\phi :{\mathbb{R}}\mapsto {\mathbb{R}}$ est une fonction convexe , alors $\textbf{E}[\phi (X)]\geq \phi (\textbf{E}[X])$
• Exemple: Retournons encore une fois à l'exemple b) ; compte tenu de la remarque faite à la fin du paragraphe précédent , on a
  $$\textbf{E}[Z_1]=\sum_1^p\textbf{E}[Y_i]=\sum_1^p\textbf{P}[X_i\in E_1]=\sum_1^p{n_1\over n} = p{n_1\over n}$$
  quand on a posé $\sharp E_1=n_1\;\;,\;\;\sharp E_2=n_2$
• Exercice : Soient $A , B , C$ trois événements d'un espace de probabilité $\Omega$ ; montrer l'égalité
  $$\textbf{P}[A\cup B\cup C]=\textbf{P}A +\textbf{P}B + \textbf{P}C ... ...{P}[A\cap B]+\textbf{P}[A\cap C]+\textbf{P}[B\cap C])+\textbf{P}[A\cap B\cap C]$$
  Généraliser à un nombre quelconque d'événements .